恋するウサギちゃん速報

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三角級数の解き方(2021京大理系数学)

3セメが始まってはや1ヶ月。1回生の時よりも数学の授業が増えて楽しい日々です。やはり1番楽しい授業はフーリエ解析セミナーですね。無事に内定が決まって良かったです。f:id:manJimath:20210514231952j:plain

こんな感じで志望動機を書いて提出するのですが、今回は定員3名程度に対し内定者は僕だけだったみたいです。あんまり人気ないのかもしれませんね…。となると必然的に教授との1対1になるので、毎週予習してその内容を黒板を使い解説していくことになります。ハードですがそれなりに楽しいです。フーリエ解析ですが慣れない三角関数の式変形が多くて最初は苦戦していました。本質でないところで悩まされるのも困ったものです…。1対1なので教授と雑談する機会が多いのですがその時に教授が「大学入試の問題である変な三角関数級数の問題はこの手法でだいたい解ける」と仰っていました。今回は例として京大理系数学2021を用いてそれについて解説していきたいと思います。*1その手法とは前に解説したオイラーの公式を使い等比級数の形に持ち込んで解く方法です。

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なのでこれを変形しf:id:manJimath:20210514232538j:plain


となります。これを使い解いていくのですね。

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今回解説していく問題はこれです。この公式を使うことで見通しが良くなります。まずはこの式に公式を当てはめます。すると与式はこうなります。f:id:manJimath:20210514232740j:plain

前側の式は初項1/2公比(e^in/6)/2となり後ろ側の式は初項1/2公比e^(-iπ/6)/2となります。公比の絶対値は1より小さいので等比数列の極限の公式からf:id:manJimath:20210514233313j:plain

が得られます。*2e^iπ/6=√3/2+i/2,e^-iπ/6=√3/2-i/2なので有理化っぽい操作(分母のiを消すアレ)をしてあげて計算していくと答えはf:id:manJimath:20210514233832j:plain

となります。随分とスマートに解けましたね。予備校の解答速報では本質的に同じ解き方をしていました。ただオイラーの公式を使うことで表記や見通しがかなり良くなる印象です。書いて欲しい記事があれば質問箱の方へお願いします。数学関係以外でも募集しています〜

ではまた!

*1:余談ですがやはり阪大は外部に委託している訳ではなく教授が入試問題を作っているそうです。

*2:大きいカッコのTeXでの出し方分からなかったです笑