恋するウサギちゃん速報

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大数2021年5月号採用の問題について

こんにちは!受験数学botの固定ツイートの問題の解説をしていきたいと思います!f:id:manJimath:20210531232607j:plain

この問題です。自分で言うのも本当に変な話ですが何回見ても綺麗な問題だと思います*1具体的な数字を出してなくてそこまでキツイ縛りでもなさそうなのに答えが一意に定まるのが綺麗なポイントかと思われます。p,qに与えられた縛りは素数ってことだけで残りは幾何的な条件だけなのですがいい感じにこれで答えが縛れるんですね〜!

本当は学力コンテストで採用してもらいたかったのですが採用されただけで嬉しすぎるのでハッピーです*2。学力コンテストでの採用は次の目標として精進していきたいと思います。(高校数学はもうしばらくやらないと思いますが…)。さて、解答の前ですがやはり幾何と整数の融合問題は美しいものを感じます。分野の融合に対して神秘的なものを抱くことが多いのでこのような問題を作りがちです。この問題も単に長さや面積を整数で置いただけではなく、p,qが長さの1次元なのに対し面積がpqで2次元になっていてある程度の整合性も取れています。こういう些細な(?)所も拘りたいポイントですね〜!f:id:manJimath:20210531233600j:plain

6月号にこれとほぼ同じ文章が解答として載っている*3のですが金が無さすぎるため買えませんでした…記念に欲しいのですが…笑。解答を見れば何しているのかはわかると思うのでここでは方針の立て方を説明させて頂きます。まず、三角形なので成立条件を考えます。結局は整数問題なので不等式による評価も考えたいので当然の方針ですよね。それから与えられた情報から面積に対する等式を立てたくなります。この等式だけでかなり絞り込みができます。素数という条件はやはり強烈なのですね。p-qがp,qで割れないことからp-qは1か2に絞れます。1の時は簡単で2の時が少し難しいです。p+q+a+b=pqの式から右辺の方がでかくなりがちということが分かるのでそれを利用して不等式を立てます。そこからp,qが新たに分かります。ここの絞込みでどうやって使うねんっていう最後の条件(p+qが最も長い辺)ということを使います(使いどころが他にないので順当に行けばここで使いたくなるでしょう)これで整数パート終了です。整数パートだけでもちょっとした入試問題レベルはあったのではないでしょうか。ですがここで出したp,qは必要条件に過ぎないので十分性を確認しなければなりません。ちょっとした落とし穴ですね。1つは三角形が成立しないからダメで、もう1つは条件に沿わないものになるので不適という感じです。これで問題が解けました。

どうでしょうか、一つ一つのパートはそこまで難しくないものの通して見ればそれなりの難易度だったように感じます。落とし穴もあるので答えを出すことは簡単でも記述ならば満点取るのは難しいかもしれません。

大数に送った問題はこれだけでは無いので残りの問題が採用されればまた書きたいと思います。ではまた!

*1:黙れ

*2:小泉氏か?

*3:上は大数編集部に送らして頂いたもの