三角級数の解き方(2021京大理系数学)
3セメが始まってはや1ヶ月。1回生の時よりも数学の授業が増えて楽しい日々です。やはり1番楽しい授業はフーリエ解析のセミナーですね。無事に内定が決まって良かったです。
こんな感じで志望動機を書いて提出するのですが、今回は定員3名程度に対し内定者は僕だけだったみたいです。あんまり人気ないのかもしれませんね…。となると必然的に教授との1対1になるので、毎週予習してその内容を黒板を使い解説していくことになります。ハードですがそれなりに楽しいです。フーリエ解析ですが慣れない三角関数の式変形が多くて最初は苦戦していました。本質でないところで悩まされるのも困ったものです…。1対1なので教授と雑談する機会が多いのですがその時に教授が｢大学入試の問題である変な三角関数の級数の問題はこの手法でだいたい解ける｣と仰っていました。今回は例として京大理系数学2021を用いてそれについて解説していきたいと思います。*1その手法とは前に解説したオイラーの公式を使い等比級数の形に持ち込んで解く方法です。
なのでこれを変形し
となります。これを使い解いていくのですね。
今回解説していく問題はこれです。この公式を使うことで見通しが良くなります。まずはこの式に公式を当てはめます。すると与式はこうなります。
前側の式は初項1/2公比(e^in/6)/2となり後ろ側の式は初項1/2公比e^(-iπ/6)/2となります。公比の絶対値は1より小さいので等比数列の極限の公式から
が得られます。*2e^iπ/6=√3/2+i/2,e^-iπ/6=√3/2-i/2なので有理化っぽい操作(分母のiを消すアレ)をしてあげて計算していくと答えは
となります。随分とスマートに解けましたね。予備校の解答速報では本質的に同じ解き方をしていました。ただオイラーの公式を使うことで表記や見通しがかなり良くなる印象です。書いて欲しい記事があれば質問箱の方へお願いします。数学関係以外でも募集しています〜
ではまた！
浪人体験記(仮面→宅浪→予備校→阪大数学科)後編
合格発表前に載せるつもりがダラダラしてていつの間にか合格発表が終わってしまいました笑。合格された皆様おめでとうございます。不合格だった方、この記事が少しでも参考になればと思います。
宅浪編(7〜10月)
7月くらいから本格的に大学に通わなくなりました。親と色々話した結果後期は休学することになり、いよいよ受験生らしく勉強を初めて行くことになりました。宅浪する時に大切なこととしては、家で勉強しない方がいいということと、一人になりすぎないということです。まず家での勉強なのですが、ダラけてしまいますし、リラックスする場所と気を張る場所を同じにするのは精神衛生上良くない気がします。宅浪は本当に自由でしたい時にしたい勉強をできるのが魅力なのですが、逆に好きな科目だけやってしまうことになりがちです。なのでたまには苦手科目だけ図書館に持って行って勉強するなどをすれば強制的にその科目を勉強することが出来ます。あと、すぐに家に帰れると気持ちに負けてしまいそうなので、ちょっと遠い遅くまで空いてる図書館がオススメです。僕の場合はチャリで30分弱のところで勉強していました*1。一人になりすぎないの方なのですが、僕は割と一人が苦手*2なのでメンタル的にはだいぶ辛かったです。気軽に喋れる友達とかに話しかけるようにした方がいいです。時間がもったいないと思うかもしれませんが長期的な目で見ると人との関わりは断つべきでは無いので…。なんか人と関わる時間が少ないと浪人終了後の性格の歪み方がキツくなるイメージがあります*3。もちろん一人でいるのが好きな方も多いと思うので一概には言えませんが…。
予備校編(11月〜2月)
なんでこんな謎のタイミングで予備校に入ることになったのかは忘れてしまったのですがここら辺から河合に通うことになりました*4。バイトも週に一回に減らしてもらい、本腰を入れました。やっぱり普通に浪人するなら当然ですが予備校が1番です。環境が許すのならば予備校に行かせて貰いましょう。授業を受けれるのが大きいというか、サービス面では受験の情報を教えてもらえたり、センターの手続きをしてもらえたり、入試対策の問題を手に入れやすくなったりが大きいですし、同じ環境の人と喋れたり、知識を共有できたり、切磋琢磨できたりするのがいいです。また、友達も増えるのでいいことずくめです。数学科でも、僕が受けていたのと同じ授業を受けていた人がいたそうでその人に声をかけられたりもしました*5。注意点は周りに友達が多いので遊びすぎないということですね。これさえ気をつければ楽しい浪人ライフが送れると思います。
入学準備や、浪人準備に忙しくなるかもしれませんが少し休んでまた、次のフィールドで活躍出来るように祈っております。読んでくださりありがとうございました。
浪人体験記(仮面→宅浪→予備校生→阪大数学科)(前編)
こんにちは！ブログ名を考え中の卍です(最近はbotが主流になりつつあるのでTwitterでの呼ばれ方が確立していないがbotでのFFの阪大受験生さんが浪人期のアカウントの｢卍丸｣の頭文字で卍さんと呼んでくれているので一人称卍にしました)*1なんでこのタイミングやねんと思うでしょうが、実際に浪人するとなると失敗のストレスで最初の方はあまり現実を受け止められずこんなタイトルを見かけても読む気にならないと思うので話半分で読める今読むべきだからです！タイトルにもあるように数奇な1年間を送ったからこそ伝えられることを伝えたいです。*2
前の記事でもそうですがやはり自分語りが好きみたいなので自分語りの合間に本題が入るって形になってます…(文書くの向いてない)
仮面浪人編(4〜6月)
阪大落ちて1ヶ月一切勉強してない状態でうけた後期市大も落ちてめでたく(？)同志社に入学することになりました。阪大落ちた時点で浪人させて欲しいと親に頼み込んだのですが何故か許してくれず、同志社通うか高卒で働くかの究極の2択を選ばされました。天邪鬼なので啖呵を切って工場で1週間ほど働いてみましたが働いている最中に何度も死にたくなったので同志社に行くことを決意しました。浪人許してくれなかった理由は今考えても分からないです。強いて言うなら中卒なので僕の拘りが理解できなかったのかもしれません。(中卒を悪く言っている訳ではありませんが多分大きな理由の一つです。受験勉強したことない人間と本気で受験勉強した人間には理解出来ない価値観の差があると思います。)*3まあという訳で花の大学生活スタートです。スーツを買ってもらい入学式*4に出席するのですが終始不貞腐れた態度でした。その時の母親の悲しそうな顔は忘れられないと思います。母親が掲示されてる看板を見て｢やっぱり大きい大学だと文化祭も楽しそうだねー絶対いくね！｣って言ってましたがその頃には僕は…
まあ普通に大学生活を送るのですが仮面する方に注意です。やっぱりどれだけ仲良くなっても仮面のことは大学の友達に言うべきでないです(特に前期は)。言ったところで少し気分が楽になる以外のメリット無いですからね。たまに仮面浪人のブログで見たりするのですが大学の授業を手伝って貰う理由として仮面を伝えるとかならなおさらです。向こうからすれば少なくとも1年以内にお別れする可能性がある人間に自分の負担を増やしてまで優しくする理由なんてあんまりありませんから…。普段人間関係で損得を考えることはないとは思いますがこの場合においてはあらゆる可能性を考慮すべきです。ゴールデンウィークくらいまでは仮面考えてなかったのでほぼ勉強はしていませんでした。ただ大学の本屋さんに置いていた大学への数学という本の後ろについている学力コンテストだけはやっていました。趣味に近いです。1ヶ月通ってみてマジで無理ってなったのでゴールデンウィークから本格的に仮面を始めることになります。最初から仮面を決めて入学するのではなく最初の1ヶ月は大学生活を思いっきり謳歌しようとしてみて下さい。案外楽しいしいいかってなる人も多いので。授業が週6で片道2時間半でしかも週三でバイト(前のブログにもあるけど塾講師)していたので仮面を決意するも勉強時間はほぼ確立出来ていませんでした。当時の僕は数学に全振りしてワンチャンの京理特色にかける予定でした。なので6月まで数学の勉強しかしてなかったです。普通に仮面浪人するならバイトは絶対にやるべきでは無いですし下宿して通学の時間を減らすべきです。受験勉強なんて時間をどれだけ捧げられるかという面も大きいのでなるべく不要な時間は避けるべきです。授業も最悪2回で頑張れば留年せずに済む位の取り方で大丈夫です。とまあ過酷なスケジュールで動いていたのですがストレスとか睡眠不足とかで慢性的な鬱になります。ここら辺から大学は行かなくなります。みなさんも気をつけて欲しいのですが睡眠不足は鬱に直結します。無理して勉強時間増やすことよりもしっかりと寝た方がトータルで見れば良いのでしっかり寝ましょう。
思いの外自分語りが多くなってしまったのですが仮面浪人期の話はあんまり人にすることがない上にとても苦労した話なので誰かに伝えたかったのです。宅浪編以降は次に書きます…
阪大理系数学2021解いてみた
ここから少し自己紹介を含めた雑談です。本題は少し飛ばしたところからです。
ちょうど2年前、友人と2人で阪大を受験した。合格出来るかは半々、少しでも判断を誤ればそれは敗北を意味するような、かなりの接戦になると予想していた*1。最初の試験は数学。ライバルは皆数学科を志している位なのだから、その中には数学の筋がいい人間も多いのだろう。だが数学以外の能力がやや劣る私はここで頭1つ抜けなければならない。
試験開始！
まずは問題に目を通す。予定通り前から順に解いていくことに。1番にかなりの時間を溶かした上、厳密性に欠ける論議を書いてしまった。2番は全く手が出なかった。3番はこの年唯一の箸休めだ*2。完答したと思ったが後でπをかけ忘れていることが判明した*3。4番は知っている人も多いだろう例の樹形図。⑴のみしか解けずで5番も全く手が出なかった。回収の時に周りの答案を見たがかなり空白が多かったのでまだ希望はあると思いながら残りの試験をこなす。
一緒に来た友人と合流し帰宅。電車の中で彼が積分サークルの方の解答速報を見せてくれた。私はこんな短期間で解答速報を作れるのかと驚いた。また、解答速報作成に対する憧れのようなものも覚えた。
そして1年前の今日。また同じ試験を受験し合格した*4。そんな紆余曲折を経てついに今日、憧れの解答速報を作成した。
という感じで解答速報を作成することになりました〜。謎の文体の拙い文章でしたが読んでくれた方、ありがとうございます！4人(数学科3人とシス科1人)で解答速報を作ったのですが一応全問解いたので感想等を述べていきます〜
解答速報はこちらです！
https://twitter.com/manjimath/status/1364810139774029832?s=21
1番は至って標準的な問題。⑴は確実に取りたいところで、⑵も範囲求めたあと微分するだけの普通の範囲求める問題なのでこれも取っておきたいところです。
2番はやや計算が多い問題。同一平面上にあるということの言い換えが思い浮かばなければその時点で死なので差が開いた問題かもしれません。必須事項なので忘れていた方は反省ですね。同一平面上に4点があるとき、2つのベクトルの一次結合で残り1つのベクトルが表せられるのでそれを使い計算します。ベクトルが一次独立であることから係数比較が出来、tについて解けば終わりです。計算やや時間がかかるかもしれません。⑵は普通に計算するだけです。角度が分かっているので内積を求めて計算すれば求まります。(sの範囲に気をつけましょう)数学で稼ぎたい人は取っておきたい問題です。
3番は恐らく最難問です。⑴は微分して求めるタイプの典型。*5⑵は⑴の誘導にのれるかが鍵です。(気づかなかった人も多いかも？)問題の⑶です。ここだけに30分以上使ったのですが中の人は解けませんでした…ここ担当してくれた友人はt≧1であることがヒントになってるのかもって言ってました。やはり上手く誘導に乗ることが大切ですね…
4番も難しい問題です。阪大対策に特化してきた人はもしかしたらこっちの方か難しく感じたかもしれません。整数問題ですが⑵はあまり典型的な問題では無く、さらにやたら大きいcの値に面食らった人も少なくはないでしょう。解答速報を担当してくれた友人は上手く解いてくれているとおもいます。
5番⑴は典型中の典型。⑵は必要性十分性に分けて示していきます。最初はよく分からない設定っていう印象でしたが解いていくにつれて構造が分かりました。
医学科以外なら数学で稼ぎたい人は1,2,3の⑵まで,4の⑴まで,5を答えられれば十分でしょう(あと小問1つ解けなくても問題ないかも)
そうでない人でも6割取れていれば数学で落ちることはないような気がします。
またまた雑談です。振り返ってみると現役の時の僕全く数学得意では無かったなと感じます。宅浪期間にずっと数学してたおかげで今は当時と比べるとまあまともにできるようになったんじゃないかなと思います。高校数学やはり楽しいですね。今年は色々あって高校数学と深く関わる機会が多くなりそうので本業を疎かにしない程度にこっちも頑張りたいなって思っています。
少し話題を変えて解答速報作成の時の話なのですが3,4番はあの人たちだからこそ上手く早く解けたような気がするし僕が担当した2問はそんなに負担じゃ無かったし1番担当してくれた人は全員分の解答を検閲してくれたしでちょうど上手い具合に分担できて良かったなと思いました。シス科の人と残りの数学科2人は面識がなかったらしいですがすぐに仲良くなってて数学の人を繋ぐ力って凄いなって思いました。(もちろん3人のコミュ力の高さも大きい。僕ならこうは行かなかったと思う。)結構楽しかったので来年もやろうと思います。最後まで読んで下さりありがとうございました！受験生だった方は試験お疲れ様でした。合格を祈っています。
e^iπ+1=0？
突然ですがあなたに好きな定理はありますか？
という式がトップで出てきます。解析的な動機で定義されたe(ネイピア数)と代数的な動機で定義されたi(虚数単位)と幾何的な動機で定義されたπ(円周率)、そして和と積の単位元である0と1が無駄なく全て登場してるという理由から美しいとされているそうです。ですが初めてこの式を見た人は疑問しか思い浮かばないでしょう*2。一見なんの脈絡もない3つの数が美しく関係しあっているのですから。また高校では指数に虚数が来ることは無いですしそこも疑問に思われるかもしれません。この公式(オイラーの公式という)*3を示すにはまずテイラー展開について学ばなければなりません。しかしいきなりテイラーの定理を証明し収束半径がどうたら…って記述していってもあなたは面白くないと思いますし、興味が無いかもしれません。それに厳密な証明は本を見れば載っていて検索をかければ出てくるのでこの記事では省かせて貰います。
さて、急に話を変えますが以下の問題あなたは解けますか？
少し考えてみてください。
答えは
となります。どうでしたか？恐らくこれくらいは解けたかと思われます。では次の問題です。
これも少し考えてみてください。
答えが
になりましたか？
それとも
になりましたか？
どちらも条件を満たします。一体どういうことでしょうか？答えが2つあったってだけな気もしますが実は
が任意の実数*4xについて成立するのです！！！
驚きではありませんか？このように整級数でない関数f(x)を整級数で表す(展開するという)ことが出来たら便利だと思いませんか？大学受験でよく出てくる以下のような問題もこれを知っていれば当たり前のように思えてくるはずです。
項を片方に寄せて関数とみなして微分して増減を調べて解くのが受験数学の定石でしょうが、こういう形の不等式問題*5が寄せて微分で確実に解けるのにはちゃんと数学的背景があったんですね。
今までの議論から以下の式の意味がなんとなく分かると思います。*6
このような関数の展開方法をマクローリン展開と言います。マクローリン展開した式を途中でちょんぎったものは0近傍についてのf(x)の近似になっています。下のグラフを見てみて下さい
分かりますかね？より高次の項までとってきた方が元の関数に近づくということと、0付近ではよく近似出来ているということの2つの事柄をグラフで表現しているのです。より一般に0だけではなく関数の定義域内の定数aに対しては
となります。これをテイラー展開*7といいます。要するにテイラー展開というのは途中でちょんぎったりして関数を多項式で近似するためのものなんですね。
ではここでsinxとcosxをマクローリン展開してみて下さい。本来マクローリン展開可能かなどを考慮しなければいけませんがsinxとcosxは任意の実数*8でマクローリン展開可能として下さい。
出来ましたか？
答えはこうなります。
途中でちょんぎったものが0付近での近似に相当することを踏まえたら数Ⅲで習う極限の諸公式がより馴染みの深いものになると思います。途中でちょんぎったもののグラフを書いてみるとより理解が進むと思います。
さてここでe^xのマクローリン展開の式にiθ(θは任意の実数)を代入すると
となりますよね？上の三角関数のマクローリン展開の式とこの式をよ〜く見比べて下さい。何か気づきませんか？
なんと以下の式が成立するのです！！
工学ではこの式をよく使います。なので工学系の人にオイラーの公式というとこれを連想されるそうです。上の式を使うと三角関数の様々な公式、例えば加法定理などを容易に証明することが出来ます。
あとは上の式にθ=πを代入し-1を移項すると…
ついに世界一美しい式とも評されるオイラーの公式が示されました！
どうでしたか？細かい議論はしていませんがテイラー展開の雰囲気とオイラーの公式の証明の大筋は理解して頂けたと思います。
疑問点があればDM下さい！
ではまたの機会に！
同志社大学退学体験記
本日同志社大学を退学してきました。この時期は大学を退学する人が多そうなので為になればいいかな〜ということで退学の手続きなどについて書きます。
要る物
ハンコ2つ(多分シャチハタはダメ)
学生証(後述するが要返却)
のみです笑。親のサインとかは特に要りません。
やる事
まず理化学館の中にある事務室で退学届けを貰いましょう。理由は普通に他大学に入学するからで通ります。その紙に必要事項を記入しハンコを2箇所に押します。(親の分と自分の分ってことですが全部自分でやっても問題ありません笑)その後本屋の所にある生協に退学届けを持っていきます。
そこでまた書類を書いて生協のおばあちゃんに提出します。生協のおばあちゃんは優しいので分からないことがあっても丁寧に教えて貰えます。
この時に学生証の中のICマネーは返金して貰えます。生協がある大学に入学することになっていて、同志社で生協に入っていれば大学間移行という手続きをすることで次の大学でも生協に入ったままで居られます。生協の手続きが終わると2万4千円貰えます。なんで貰えたのかは分かりませんが裏イベントみたいで面白かったです笑。*1
最後にもう一度理化学館に戻り手続きを終えて下さい。特に難しいことも無く淡々と(本当に30秒位で)退学が受理されます。この時に学生証も返却します。記念にとっておきたい方は事前に新しく作って貰っておくといいのかもしれません。
難しく感じるような退学手続きですが本当に簡単ですぐに終わってしまいました笑。
ここからはちょっとした雑談なんですけど1人で行くのが不安すぎてFFの方と2人で行きました。手続きの内容はとても簡単で困ることなんてなかったのですが2人いると安心ですよね〜笑。その人はとても話しやすくて感じのいい方でした。(そして美人…！)もし1人で行くのが不安だったらSNSなどで仲間を集ってみるのいいかもです。
追伸 数日後に以下のような紙が届きます。これで全ての手続きが終了しました。
*1:最初に登録した際に払ってたお金で本来なら卒業と同時に返されるものだそうです
阪大理系数学2020解答速報
僕が本番で解いたものです。合ってるか分からないので自己責任でお願いします。(試験の昼休みに書いています。)
大問1 ⑴ e^(1/e)
⑵ f(x)=1,f'(x)=0
⑶x=e-1まで増加、そこから減少、漸近線はy=1
感想 簡単すぎて逆に怖い
大問2⑴1/2
⑵(5/6)^(n-1)×(1/3)
⑶時間切れ
感想 時間あったら行けそう
大問3
正弦定理使ったあと∠ABC=θとしてn>sinnθ/sinθを帰納法で示す
感想 京大っぽい
大問4 1
感想 落ち着いてやればいける。
大問5
⑴点Bの軌跡が点A,Cを焦点にもつ楕円になることに着目(ここから僕は面積をヘロン使って表して重心とBCの距離、そして面積が共にb=(2-a)/2のときに最大になることからパップスギュルダンの定理よりこのときにVが最大ってしました。パップスギュルダンOKなのかしら？)
⑵V=π/12,a=1/2,b=3/4
感想 ⑵は⑴が解けなくてもやろうねという教訓
追記 大問2⑶は1/3だそうです。
追追記 開示193.75/250でした。
追追追記 ブログの編集しててこれ見返してるけどここから1年以上経ったって事実普通に怖い(今は2021年の3月9日)。何となく非公開にしてたけどもう1回載せてみる。
